Какви знания са нужни на учителя по математика

В основата на всички тези предложения стои въпросът, какви математически знания са необходими за професията „учител по математика“. Нужни ли са знания по всички математически курсове, които се преподават на студентите математици в математическите факултети (напр. абстрактна алгебра, функционален анализ, комплексен анализ, диференциални уравнения)? Или задълбочени знания само по онази математика, която се преподава в училище, са достатъчни? С други думи, какви са онези професионални математически знания, които трябва да се преподават на бъдещите учители по математика?
В литературата са описани някои изследвания за влиянието на математическите знания на учителите върху постиженията по математика на техните ученици. От резултатите обаче не може да се прецени същността на математическите знания на учителите, които имат положително влияние. Нещо повече, обемът им също не е определящ. Например Begle (1979) установява, че изучаването на повече теоретична абстрактна (висша) математика (напр. абстрактна алгебра, функционален анализ, комплексен анализ, диференциални уравнения) от учителите води по повишаване на постиженията по математика на съответните ученици в едва 10% от случаите, а ефектът е отрицателен в 8% от случаите. Предположението, че разковничето е в изучаването на повече „дидактика на математиката“ (курсове, насочени към това, как да се преподава математика на ученици), също няма достатъчно емпирични доказателства.
За целите на този материал под „математически знания, необходими за преподаване на математиката“, разбираме съвкупността от математическите знания, идеи, умения, методики, технологии, практически опит и др., които са необходими, за да може един учител по математика да се справи успешно с предизвикателствата на професията си. Усилията на много учени са насочени към конкретизиране на това понятие.

Професионални изисквания към учителя по математика

Трудно може да се опишат накратко професионалните изисквания към учителя по математика. Най-общо казано, той трябва да помогне на учениците да развият математически способности и да осмислят математиката като система от човешки идеи, които да прилагат в различни ситуации. За да стане това, учителят трябва да научи учениците да разбират и използват факти, понятия, принципи и процедури, сътворени от други хора – натрупаните в математиката вековни знания. Той трябва да ги научи още да „правят математика“, да създават и развиват математическата си интуиция, да откриват и да аргументират идеите си. Това означава, че добрият учител по математика трябва не само добре да разбира математическите понятия и процедурите, но и да има общи познания за науката математика, като например какво означава „да се изгради математическа теория“, кои аргументи могат да се приемат за валидни (според възрастта на ученика например). С други думи, необходими са знания по математика, които са извън чисто теоретичните такива. Може да кажем, че това са знания по дидактика на математиката.
За да покажем колко сложна система са професионалните изисквания към учителя по математика, ще разгледаме един пример.
[su_note note_color=“#ffffff“ radius=“0″]Учителят е завършил изучаването на обикновени дроби в 5. клас. Той поставя на учениците задача да докажат дали е вярно твърдението: „Ако вземем обикновена дроб, на която числителят е с 1 по-малък от знаменателя, може да се намери правилна дроб, която е по-голяма от нея“. След като учениците изпробват няколко конкретни примера, учителят се обръща към тях: „Успя ли някой да намери обикновена дроб, на която числителят е с 1 по-малък от знаменателя и за която няма правилна дроб, по-голяма от нея?“
Ученик А: Аз пробвах много примери и винаги успявах да намеря правилна дроб, по-голяма от първоначалната. Затова си мисля, че твърдението е вярно.
Ученик Б: Аз също мисля, че твърдението е вярно. Но как може да съм сигурен? Има безброй много обикновени дроби, на които числителят е с 1 по-малък от знаменателя. Не може да проверим за всички тях.
Ученик В: Да, но колкото повече примери имаме, които подкрепят твърдението, и понеже нямаме пример, който не го подкрепя, толкова повече може да сме сигурни, че то е вярно.
Учител (към ученик В): Покажи ни някои от твоите примери.
Ученик В: ,  или   , или . Всяко неравенство се проверява, като дробите се приведат към общ знаменател.
Ученик Г: Няма нужда да привеждаме към общ знаменател. Например  означава да разделим нещо на 16 части и да вземем 15 от тях; значи сме оставили една част от шестнадесетте. От друга страна,  означава да разделим същото нещо на 17 части и да вземем 16 от тях; значи сме оставили една част от седемнадесетте. Но една част от нещо, разделено на 17 части, е по-малка от една част от същото нещо, разделено на 16 части. Значи във втория случай сме взели повече.[/su_note] Каква математика е нужно да знае учителят в описаната ситуация? Без да се впускаме в подробности, ясно е, че преди всичко учителят трябва да може да прецени ученическите изказвания. Учениците А, Б и В дават различни доводи за това, че твърдението „изглежда е вярно“. Учителят трябва да определи валидността на всеки от тях, да установи математическата идея в тях и да прецени как може да помогне на учениците да разберат несъстоятелността им. Освен това учителят трябва да прецени (най-напред за себе си) доколко аргументацията на ученик Г може да се приеме за убедителна и да обясни това на класа. Като се вземе предвид, че петокласниците не са особено силни в използването на математическа символика, може да се предположи, че формално математическо доказателство на твърдението е извън силите им. Какви разсъждения тогава може да се приемат за „достатъчно силни“ от математическа гледна точка и все пак достъпни за петокласниците? Изпълняват ли тези условия аргументите на ученик Г? Може ли това да се приеме за доказателство?
Ето още един пример, показващ спецификата на ежедневните математико-педагогически ситуации, в които учителят по математика може да попадне.
[su_note note_color=“#ffffff“ radius=“0″]Урокът е за многоъгълници в 6. клас. След кратко обяснение за това, какво е многоъгълник, учителят поставя на учениците задачата да начертаят многоъгълници. В тетрадките той вижда начертани следните фигури (фиг. 1).

Учителят трябва да обясни кои от тези фигури са многоъгълници и кои не са. Естествено, най-напред учителят си припомня математическото определение за многоъгълник: Проста затворена начупена равнинна линия се нарича многоъгълник. Може ли това определение да му свърши работа? Бързо съобразява, че не може. Петокласниците не знаят смисъла на голяма част от думите в определението („проста“, „затворена“, „начупена“) и следователно не могат да го използват. Нужно е да се намери „определение“, което да бъде разбираемо за тях и, естествено, да бъде математически коректно. Например: Многоъгълник се нарича редица от отсечки в равнината, като всяка следваща започва от точката, където завършва предишната, и последната отсечка свършва в точката, от която започва първата. Освен крайните точки, общи за две последователни отсечки, никои две отсечки нямат други общи точки.[/su_note]