Запознаването на учениците от профилираните паралелки с Декартовото правило за знаците и определянето на долна и горна граница на корените на уравнение от по-висока степен е полезно и удачно, тъй като им се предоставя още един метод за намиране на реални корени на полиноми, а това от своя страна позволява неформално да се покрие Стандарт „Умее да преценява вярност, рационалност и целесъобразност при избор в конкретна ситуация“, заложен в Ядро „Числа. Алгебра“ по темата „Полиноми на една променлива“ в 9. клас (Държавни образователни изисквания, 2000).В статия е разгледано правилото на Декарт за знаците и намирането на долната и горната граница на корените на уравнение от по-висока степен с цели коефициенти. Предложеният метод води до по-добро усвояване на понятията и твърденията по темата „Полиноми на една променлива“, развиване на умения за решаване на уравнения и тяхното приложение в практически задачи, т.е. до по-високо качество на обучението.
Формирането на умения за решаване на задачи чрез използването на правилото на Декарт за знаците и чрез горна и долна граница на корените на полинома допринася за постигане на максимално възможно ефективно обучение и развиване на компетенциите на учениците, водещи до творчески изяви, т.е. до подобряване на резултатите от обучението.
Теоретичните основи се базират на Декартовото правило за знаците и определянето на долната и горната граница на полинома Р(х). Теоретичните постановки са посочените от Mary Hansen (Hansen, 2014). Освен идеите, дадени от автора за възможните области на приложение на тази теория, са включени и други приложения.
Правило на Декарт за знаците
I. Теоремата за рационалните корени на полиномите води до по-дълго търсене на рационалните корени.
А как да се намерят ирационалните? Декартовото правило за знаците помага да се определят броят и видът на реалните корени на полиномите. Твърдението гласи:
- Броят на положителните реални корени на полинома P(x) е по-малък или равен на броя на знаковите промени на коефициентите на функцията. Броят на положителните нули и този на смяната на знаците са с еднаква четност.
- Броят на отрицателните реални корени на P(x) е по-малък или равен на броя на знаковите промени на коефициентите на P(-x) и е със същата четност като тази на смяната на знаците на коефициентите.
Доказателство на правилото на Декарт за знаците
Означаваме с N(f) броя на положителните корени на многочлена f, а с L(f) – броя на промените на знаците в редицата от неговите коефициенти. Очевидно, че тези числа не се променят, ако умножим многочлена по -1. Затова можем да считаме, че старшият коефициент на f е положителен, без ограничение на общността на разглежданията. Освен това, ако 0 е корен на многочлена f от степен k, можем да разделим f на хк, а N(f) и L(f) очевидно също не се изменят. Затова можем да считаме, че от това, че 0 не се явява корен на многочлена, f има свободен член, различен от 0.
Ще докажем последователно няколко леми.
Лема 1
N(f) ≡ L(f) (mod 2)
Доказателство:
Нека а е свободният член на f. Тогава f (0) = а. По условие старшият коефициент на f е положителен, можем да твърдим, че f (х) > 0 при достатъчно големи х. Ако се движим по числовата ос надясно, то при намирането на корена на многочлена f от степен k, f(х) си сменя знака (-1)k пъти. Сл. броят на положителните корени е от четна кратност, ако f(0) > 0, и нечетна кратност обратно. Даденият признак се определя от положителния или отрицателния знак на а. Тогава, понеже старшият коефициент на многочлена е положителен, то четността на L(f) също зависи от положителната стойност на свободния член.
Лема 2
N(f) ≤ N(f’) + 1
Доказателство:
От теоремата на Рол между всеки два корена на многочлена f лежи корен на f’. Освен това всеки корен от кратност к на многочлена f се явява корен от степен (к-1) на неговата производна. Сл. N(f’) ≥ N(f) – 1, което трябваше да докажем.
Лема 3
L(f’) ≤ L(f)
Oчевидно тази характеристика при диференциране на многочлена не може да се увеличи.
Следствие:
Броят на отрицателните корени на многочлена f е равен на броя на положителните корени на многочлена g(x) = (-1)n.f(-x), където n = deg f
Лема 4
L(f) + L(g) ≤ n
Доказателство:
Коефициентите на g(x) се получават от коефициентите на многочлена f чрез почленно умножение с +/- 1. Ако предположим, че всички коефициенти на f са различни от 0, то на това място, където в тяхната редица има промяна на знаците, в редицата от коефициентите на многочлена g(x) няма промяна на знаците и обратно, където няма в f(х), ще има в g(x). Затова в този случай сумата от броя на промените на знаците в тези многочлени е точно равна на n. При смяна на някои коефициенти с нули броят на промените на знаците не може да се увеличи, сл. в общия случай: L(f) + L(g) ≤ n
Доказателство на теоремата:
Ще докажем неравенството N(f) ≤ L(f) чрез индукция по deg f.
1. При deg f = 0 => N(f) = L(f) = 0
2. Нека deg f = n > 0. Тогава deg f’ = n-1. Съгласно Лема 2 и 3 и индукционното предположение, че N(f’) ≦ L(f’) се получава:
N(f) ≦ N(f’) + 1 ≦ L(f’) + 1 ≦ L(f) + 1
Равенството N(f) = L(f) + 1 e невъзможно съгласно Лема 1. N(f) и L(f) са естествени числа => N(f) ≦ L(f). Ако всички корени на многочлена f са реални, то е в сила доказаното неравенство и съгласно Лема 4 =>
n = N(f) + N(g) ≦ L(f) + L(g) ≦ n.
Съгласно първата част на теоремата получаваме: N(f) = L(f) и N(g) = L(g), откъдето и следва условието на теоремата.
[su_note note_color=“#f5f5f5″ radius=“0″]
Пр. 1. Намерете броя на положителните и отрицателните корени на полинома
P(x) = x4 + 4x3 − x2 + 3x − 2
Решение: Използваме Декартовото правило на знаците, за да изчислим броя на знаковите промени в коефициентите P(x) и P(-x).
P(x) = x4 + 4x3 – x2 + 3x − 2
Три смени на знаците. От правилото на Декарт => полиномът има 3 или 1 положителни корена.
P(−x) = (− x)4 + 4(−x)3 − (−x)2 + 3(−x) − 2 = x4 – 4x3 – x2 – 3x – 2
Една смяна на знаците => от правилото на Декарт следва, че полиномът има 1 отрицателен корен.
[/su_note]
II. Установяване на горната и долната граница на реалните корените на полиномите.
Декартовото правило показва, че полиномът, чиито коефициенти са само положителни или само отрицателни числа, не може да има положителни реални корени. Този факт може да помогне да се ограничи проверката на възможните реални корени.
Теорема за долната и горната граница на реалните корени на полинома
За положителното число u, ако P(x) се раздели на (x−u) и остатъкът и коефициентите са само положителни или само отрицателни, то корените на P(x) не могат да бъдат > u. Стойността на u е горна граница на P(x). Ako v e горната граница на P(−x), тогава −v e долната граница на P(x).
[su_note note_color=“#f5f5f5″ radius=“0″]
Пр 2. Намерете долната и горната граница на полинома
P(x)= x4 +4x3−x2+3x−2
Решение: Използваме схемата на Хорнер за положителните цели стойности на х, за да намерим горната граница.
| X | 1 | 4 | –1 | 3 | –2 |
| 1 | 1 | 5 | 4 | 7 | 5 |
P(−x) = (− x)4 + 4(−x)3 − (−x)2 + 3(−x) − 2 = x4 − 4x3 − x2 − 3x − 2
Прилагаме схемата на Хорнер за положителните цели числа, за да се намери долната граница.
| X | 1 | –4 | –1 | –3 | –2 |
| 1 | 1 | –3 | –4 | –7 | –9 |
| 2 | 1 | –2 | –5 | –13 | –28 |
| 3 | 1 | –1 | –4 | –15 | –47 |
| 4 | 1 | 0 | –1 | –7 | –30 |
| 5 | 1 | 1 | –4 | 17 | 83 |
Долната и горната граница на P(x) определя интервала, в който ще се търсят реалните корени. За примера реалните корени са между −5 и 1.
[/su_note]