Декартово правило за знаците и определяне на долна и горна граница на корените на уравнение от по-висока степен

III. Ако а и в са последователни цели числа и f(a) . f(b) < 0, то полиномът P(x) има поне един корен в (а, в).

[su_note note_color=“#f5f5f5″ radius=“0″] Пр 3. Определете между кои последователни цели числа лежи коренът на
P(x) = x⁴ + 4x³ − x² + 3x − 2
Решение: P(x) има 1 отрицателен реален корен и 1 или 3 положителни корена, които се намират между −5 и 1. От схемата на Хорнер за целите стойности от −5 до 0 се намира 1 отрицателен корен и между 0 и 1 се намират 1 или 3 положителни реални корена. Промяната на знака в остатъка между две последователни цели числа показва, че поне 1 корен лежи между тези числа.

X	1	4	–1	3	–2
–5	1	–1	4	–17	83
–4	1	0	–1	7	–30

f(x) променя знака си между −5 и −4. Има само един отрицателен реален корен между −5 и −4. Няма нужда да се проверяват други отрицателни стойности.

X	1	4	–1	3	–2
0	1	4	–1	3	–2
1	1	5	4	7	5
2	1	6	11	25	48

f(x) променя знака си между х = 0 и 1 (знаците на остатъка). Има корен, който лежи в (−5, −4) и 1 или 3 корена между (0, 1). Ако има само 1 корен между 0 и 1, тогава оставащите 2 корена не са реални.
[/su_note]

Алгоритъм за намиране на корените на полинома

При намирането на корените на полинома с помощта на правилото на Декарт за знаците може да се следват стъпките:

1. Определяне на максималния брой корени.
2. Чрез правилото на Декарт за знаците се намира броят на възможните положителни и отрицателни корени.
3. Изчисляване на горната и долната граница на реалните корени.
4. Определяне на корените, като се използва едната от двете или и двете техники:
   – Изчисляване на целите стойности на х в рамките на долната и горната граница на х, за да се намери коренът или да се намерят последователните цели числа, между които той лежи;
   – Изчисляване на рационалните възможни корени, дадени чрез стойностите на p/q, kъдето p е делител на свободния член, а q – на старшия коефициент.
5. Продължава се с търсенето на корени до получаване на квадратен тричлен.

[su_note note_color=“#f5f5f5″ radius=“0″] Пр. 4. Намерете всички корени на уравнението:

P(x) = 4x³ + 15x − 36 = 0

Решение:
Стъпка 1. Определяме броя на корените. Степента на P(x) е четвърта => има най-много 4 корена.
Стъпка 2. Използвайки Декартовото правило, определяме броя на възможните положителни и отрицателни реални корени.

P(x) = 4x³ + 15x − 36
             +   +       −
1 знакова промяна => има 1 положителен реален корен

P(−x) = −4x³ − 15x − 36. Няма вариация на знаците => няма отрицателни корени. Другите два корена са нереални.
Стъпка 3 и 4. p: Делители на свободния член: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36
q: Делители на старшия коефициент:  ±1, ±2, ±4
Възможните корени: p/q: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36, ±½, ±¼, ±³/₂, ±³/₄, ±⁹/₂, ±⁹/₄. Но ^p/_q>0, защото отрицателни корени няма. От схемата на Хорнер за целите положителни стойности на х:

X	4	0	15	–36
1	4	4	19	–17
2	4	8	31	26

1 и 2 не са корени, но f(1) = −17, f(2) = 26, т.е. f(1) . f(2) < 0 => х₁Є(1,2). Следователно това е единственият реален корен, защото уравнението има 1 положителен и няма отрицателни корени. От възможните корени само 3/2 Є(1,2). Проверяваме чрез схемата на Хорнер:

X	4	0	15	–36
3/2	4	6	24	0

Х₁ = ³/₂ е корен.
(х − ³/₂) . (4х² + 6х + 24) = о
Стъпка 5. Решаваме квадратното уравнение. D < 0. Сл. няма реални корени.
Извод: Уравнението има единствен реален корен ³/₂.
[/su_note]