Декартово правило за знаците и определяне на долна и горна граница на корените на уравнение от по-висока степен

[su_note note_color=“#f5f5f5″ radius=“0″] Пр. 5. Решете уравнението: 2х⁴ − 7х³ + 8х + 3 = 0
Решение:
Стъпка 1. Уравнението е от четвърта степен => очакваме 4 корена.
Стъпка 2. P(x) = 2х⁴ − 7х³ + 8х + 3
+   –   +   +
                 Има 2 знакови промени => има 2 или 0 положителни реални корен.

  P(−x) = 2х⁴ + 7х³ − 8х + 3
+   +        –  +
  Има 2 знакови промени. Съгласно Декартовото правило уравнението има 2 или 0 отрицателни корена.

Стъпка 3. Намиране на горната и долната граница.

X	2	–7	0	8	3
1	2	–5	–6	3	6
2	2	–3	–5	–4	–5
3	2	–1	–3	–1	0
4	2	1	4	24	99

x₁ = 3 е решение => уравнението има 2 положителни корена. 4 е горна граница на корените.

P(−x) = 2х⁴ + 7х³ − 8х + 3

X	2	7	0	–8	3
1	2	9	9	1	4

Остатъкът и коефициентите са положителни => −1 е долна граница на корените. Т.е. корените Є(−1,4). х₁ = 3. => P(x) = (x − 3) . (2х³ − х² − 3х − 1) = 0
Ако уравнението има отрицателни корени, то те принадлежат на (−1,0).
Остава да се реши уравнението 2х³ − х² − 3х − 1 = 0. Негови възможни корени са: ±1, ±½. От тях само −½  Є(−1, 0). Със схемата на Хорнер проверяваме, че е решение.

X	2	–1	–3	–1
–½	2	–2	–2	0

Х₂ = −½
P(x) = (x − 3) . (x + ½) . (2x² − 2x − 2) = 0 => x_3,4 = (1 ± √5)/2
[/su_note] Схемата на Хорнер се използва да се провери кои са възможните решения. Много често товa води до дълги изчисления. Декартовото правило на знаците помага да се открие кои числа не са корени и облекчава доста големите пресмятания.
Системата от задачи и алгоритми, съответстващи на теоретично изяснените форми на проявление на компетенциите при изучаването на темата „Уравнения от по-висока степен с рационални коефициенти“ чрез използването на Декартовото правило за знаците и долната и горната граница на корените, допринася за:

• повишаване на качеството на знанията – обем и разбиране;
• формиране на умения за приложение, анализ, синтез и оценка като проявление на компетентност в сферата на изучаваната тема в частност и по темата „Полиноми на една променлива“ в по-общ план;
• покриването на Стандарт 1 и 2 от ядро „Числа. Алгебра“ по темата „Полиноми на една променлива“.

Решаването на творчески задачи, каквито са разглежданата група уравнения, повишава като цяло математическата култура на учениците. Основанията за това са добрите резултати по възприетите критерии, които се явяват компоненти на математическата култура на човека.
Предложеният метод на Декартовото правило за знаците би могъл да се използва и при решаването на неравенства от по-висока степен с рационални коефициенти. Той води до по-добро усвояване на понятията и твърденията по темата „Полиноми на една променлива“, развиване на умения за решаване на уравнения и тяхното приложение в практически задачи, т.е. до по-високо качество на обучението, което е предпоставка за достигане на Държавните образователни изисквания.
По-добрите резултати по отношение на трайност, пълнота, правилност и точност на знанията са основание да отдадем предпочитанията си на приложената технология за решаване на уравненията от по-висока степен с рационални коефициенти.
В заключение, основен въпрос в обучението по математика е как да бъдат мотивирани учениците за учене. Повишаването на интереса към часовете по математика и математическите знания стабилизира самочувствието им, че могат да се справят със задачите и в друга, нестандартна ситуация, и е предпоставка за изграждане на вътрешна мотивация, а оттам – и постигане на по-добри резултати.

---